Максимальные знаковые инварианты и новые точные решения квазилинейных параболических уравнений с градиентной диффузией

В. А. Галактионов, С. А. Посашков


Аннотация: Рассматриваются квазилинейные параболические уравнения с коэффициентом диффузии градиентного типа u_t = div(|∇_u|^σ ∇_u) + f(u), x ∋ <b>R</b>^N, t > 0, где σ ≠-1 - постоянная и f(u) - достаточно гладкая функция. Также рассмотрены квазилинейные параболические уравнения с зависящим от градиента коэффициентом u_t = h(|∇_u|Δu + f(u), с достаточно гладкой функцией h(p). Для обоих классов уравнений получены знаковые инварианты первого порядка, т.е. операторы первого порядка, сохраняющие свои знаки на эволюционных траекториях {u(•, t), t>0}. Дано полное описание знаковых инвариантов двух типов. Для ряда квазилинейных уравнений построены новые точные решения, соответствующие рассмотренным знаковым инвариантам.