Алгебро-логические методы в информатике и искусственный интеллект

Expansions and restrictions of structures and theories, their hierarchies

[Обогащения и обеднения структур и теорий, их иерархии]

S. V. Sudoplatov<sup>ab

a</sup> Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russian Federation
^b Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russian Federation

Аннотация: Изучение и описание возможностей обогащений и обеднений структур и их теорий используется для получения структурной информации как в целом, так и для различных естественных алгебраических, геометрических, упорядоченных теорий и моделей. Истоки такого описания основаны на известных теоретико-модельных операциях морлизации, или атомизации, и сколемизации, позволяющих сохранять или естественным образом расширять систему формульно определимых множеств данной структуры и получать уровень элиминации кванторов, при котором формульно определимые множества представлены как булевы комбинации определимых множеств, заданных формулами без кванторов. Операции шелахизации, или неймизации, производят как обогащения, так и расширения структуры, при которых задаются имена или метки для определимых множеств. Вводятся и изучаются некоторые общие принципы и иерархические свойства обогащений и обеднений структур и их теорий. Эти принципы основаны на верхних и нижних конусах, решетках и перестановках. Общий подход применяется для описания этих свойств для классов $\omega$-категоричных теорий и структур, эренфойхтовых теорий и их моделей, сильно минимальных, $\omega_1$-категоричных и стабильных теорий и структур. При этом все эти классы замкнуты относительно перестановок. Доказано, что любые слияния сильно минимальных структур также являются сильно минимальными, тогда как свойства $\omega$-категоричности, эренфойхтовости, $\omega_1$-категоричности и стабильности могут нарушаться при слияниях. Также показано, что классы $\omega$-категоричных, сильно минимальных и стабильных регулярных структур замкнуты относительно нижних конусов всех их элементов, тогда как классы эренфойхтовых и $\omega_1$-категоричных структур этим свойством не обладают, причем некоторые бесконечные цепочки расширений чередуют эренфойхтовость и неэренфойхтовость, а другие бесконечные цепочки чередуют $\omega_1$-категоричность и не $\omega_1$-категоричность.

Ключевые слова: иерархия, свойство, обогащение структуры, обеднение структуры, теория.

УДК: 510.67

MSC: 03C30, 03C45, 03C52

Поступила в редакцию: 07.02.2025
Исправленный вариант: 27.03.2025
Принята в печать: 07.04.2025

Язык публикации: английский

DOI: 10.26516/1997-7670.2025.54.143