Динамические системы и оптимальное управление

On Fréchet subdifferential of supremum for arbitrary family of continuous functions

[О субдифференциале Фреше супремума непрерывных функций]

D. V. Khlopin

Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics UB RAS, Yekaterinburg, Russian Federation

Аннотация: Исследуется субдифференциал Фреше поточечного супремума семейства функций, индексируемых произвольным множеством. Все рассматриваемые при этом функции заданы на гладком по Фреше пространстве; этот класс банаховых пространств включает в себя как рефлексивные пространства, так и сепарабельные пространства Асплунда. Новые оценки сверху, в том числе невыпуклые, установлены для субдифференциала по Фреше супремума непрерывных и полунепрерывных снизу функций. В этих оценках к каждому $\varepsilon$-активному индексу, соответствующему непрерывной функции, предъявляется дополнительное требование: $\varepsilon$-близость графика этой непрерывной функции к рассматриваемой точке графика супремума. Ключевые двусторонние неравенства для точки графика непрерывной функции, соответствующей $\varepsilon$-активному индексу, основаны на двустороннем однонаправленном варианте теоремы Лагранжа. Метод доказательства верхних оценок сочетает в себе подходы из работ Дж. С. Треймана, Ю. С. Ледяева, М. Ш. Мордуховича, Т. Нгиа и П. Перез-Ароса.

Ключевые слова: супремум непрерывных функций, гладкое по Фреше пространство, субдифференциал Фреше.

УДК: 517.988.3

MSC: 49J52, 49J53

Поступила в редакцию: 28.08.2024
Исправленный вариант: 17.10.2024
Принята в печать: 24.10.2024

Язык публикации: английский

DOI: 10.26516/1997-7670.2025.52.21