Об устойчивости для линейных эллиптических уравнений с $L^2$-дрифтом, имеющим отрицательную дивергенцию, и сингулярным членом нулевого порядка

Хэсон Ли

Kumoh National Institute of Technology, Department of Mathematics and Big Data Science, Gumi, Republic of Korea

Аннотация: В работе сначала устанавливается существование и единственность решений однородных краевых задач Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка с дрифтом из $L^2$, дивергенция которого отрицательна, и с положительным членом нулевого порядка из $L^1$. При этом доказательства опираются на функционально-аналитический подход, включающий методы слабой сходимости и соображения двойственности. Улучшая ранее известные для рассматриваемых задач “сжимающие” свойства, которые могли оказаться неэффективными при малых членах нулевого порядка, автор приходит к более общему $L^2$-“сжимающему” свойству для задач с любым положительным членом нулевого порядка. Это приводит к примечательным результатам об $L^2$-устойчивости, которые применимы к анализу $L^2$-ошибок для физически обусловленных нейронных сетей (physics-informed neural networks), а также могут быть использованы для анализа стационарных операторов Шрёдингера с членом нулевого порядка из пространства $L^2$. Все константы, возникающие в оценках данной работы, могут быть вычислены в явном виде.

Ключевые слова: существование и единственность, сжимающее свойство, $L^1$-устойчивость, $L^2$-устойчивость, стационарное уравнение Шрёдингера, физически обусловленная нейронная сеть, PINN.

MSC: 46N20, 35B35, 35D30, 35J25

Поступило в редакцию: 14.09.2024
Исправленный вариант: 30.12.2024
Принята в печать: 30.01.2025

DOI: 10.4213/faa4253

 Англоязычная версия: Functional Analysis and Its Applications, 2025, 59:4, 405–420

Реферативные базы данных:

• 
•