Граничные классы некомпактных римановых многообразий и метод Перрона
Александр Кондрашов Волгоградский государственный университет, Институт математики и информационных технологий, Волгоград, Россия
Аннотация:
В работе рассматривается разрешимость обобщенной задачи Дирихле для линейного эллиптического дифференциального уравнения
$Lu=f$, где
$L=\Delta +\langle B(x),\nabla\rangle+c(x)$ – линейный оператор, (
$B(x)$ – векторное поле класса
$\mathrm{C}(\mathcal{M})$,
$c(x)\leqslant0$,
$c(x)\in \mathrm{C}(\mathcal{M})$), заданного на некомпактном римановом многообразии
$(\mathcal{M},g)$. Развивается подход к постановке данной задачи на основе классов эквивалентности, предложенный Е. А. Мазепой, позволивший ставить эту задачу на некомпактных многообразиях при отсутствии естественной геометрической компактификации. Введены и изучены линейные пространства
$\mathrm{CM}_b$,
$\mathrm{CM}$ таких классов. Описана версия известного метода Перрона с граничными данными в этих классах, с помощью которого установлены признаки
$L$-параболичности и
$L$-гиперболичности концов многообразия
$\mathcal{M}$ в зависимости от их геометрического строения. Признаки гиперболичности многообразия играют ключевую роль в обосновании разрешимости задачи Дирихле,
а признаки параболичности важны для выяснения справедливости на многообразии теорем Лиувиллева типа.
Ключевые слова:
некомпактное риманово многообразие, конец многообразия, метод Перрона, класс эквивалентности, пространства
$\mathrm{CM}_b$,
$\mathrm{CM}$.
MSC: 35Jxx,
58J05,
58J32 Поступило в редакцию: 29.02.2024
Исправленный вариант: 14.10.2024
Принята в печать: 22.10.2024
DOI:
10.4213/faa4209
Полный текст:
PDF файл (895 kB)
Первая страница:
PDF файл