Замечание об объемах деревьев леса Гальтона – Ватсона

Ю. Л. Павлов

Федеральный исследовательский центр «Карельский научный центр РАН»

Аннотация: Рассматриваются леса Гальтона – Ватсона, образованные критическим ветвящимся процессом, начинающимся с $N$ частиц, общее число потомков которых до момента вырождения равно $n$. Число прямых потомков каждой частицы имеет распределение
\begin{equation*}p_k=\frac{h(k+1)}{(k+1)^\tau}, \qquad k=0,1,2, \dots, \quad \tau\in (2,3),\end{equation*}
где $h(x)$ — такая медленно меняющаяся на бесконечности функция, что ${h(x) \rightarrow D}$, $0<D<\infty$, если $x\rightarrow \infty$. Доказаны предельные теоремы о числе деревьев заданного объема и о максимальном объеме дерева при $N,n\rightarrow \infty$ так, что $n/N\rightarrow \infty$ и $n/N^{\tau-1} \rightarrow 0$.

Ключевые слова: лес Гальтона – Ватсона, объем дерева, предельные теоремы.

УДК: 519.212.2+519.179.4

Статья поступила: 12.03.2025

DOI: 10.4213/dm1872