МАТЕМАТИКА
Одноточечное штрафование симметричного процесса Леви
Т. Е. Абильдаевab a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия
b Санкт-Петербургский государственный университет
Аннотация:
В работе рассматривается одномерный симметричный процесс Леви
$\xi(t)$,
$t\geq0$, обладающий локальным временем
$L(t,x)$, и строится оператор
$\mathcal A+\mu\delta(x-a)$,
$\mu>0$, где
$\mathcal A$ – это генератор порождаемой
$\xi(t)$ полугруппы, а
$\delta(x-a)$ – дельта-функция Дирака в точке
$a\in\mathbb R$. Показывается, что построенный оператор – это генератор
$C_0$-полугруппы
$\{U_t\}_{t\geq0}$ в
$L_2(\mathbb R)$, действующей по формуле
$$
(U_tf)(x)=\mathbf E f(x-\xi(t))e^{\mu L(t,x-a)},
\quad f\in L_2(\mathbb R)\cap C_b(\mathbb R),
$$
и обобщается формула Фейнмана–Каца для потенциала типа дельта-функции.
Далее строится семейство штрафующих мер
$\{\mathbf Q^\mu_{T,x}\}_{T\geq0}$,
определяемых формулой
$$
\mathbf Q^\mu_{T,x}=\frac{e^{\mu L(T,x-a)}}
{\mathbf E e^{\mu L(T,x-a)}}
\mathbf P_{T,x},
$$
где
$\mathbf P_{T,x}$ – мера процесса
$\xi(t)$,
$t\leq T$. Показывается, что при
$T\to\infty$ это семейство слабо сходится к некоторому феллеровскому процессу, описывается порождаемая этим процессом полугруппа
Фейнмана–Каца и приводится предельная теорема для
$\xi(T)$ относительно
$\mathbf Q^\mu_{T,x}$.
Ключевые слова:
случайные процессы, процессы Леви, локальное время, формула Фейнмана–Каца, полугруппа Фейнмана–Каца, штрафование.
УДК:
519.214.6 Статья представлена к публикации: И. А. ИбрагимовПоступило: 24.07.2025
После доработки: 19.08.2025
Принято к публикации: 19.08.2025
DOI:
10.7868/S3034504925050068
