Аннотация:
Рассматриваются сохраняющие меру, но не обязательно обратимые, эргодические преобразования компактного метрического пространства с мерой Каратеодори. Изучается поведение сумм Биркгофа для интегрируемых и почти везде ограниченных функций с нулевым средним значением по мере Каратеодори. Показано, что для почти всех точек метрического пространства существует бесконечная последовательность “моментов времени”;, вдоль которой суммы Биркгофа стремятся к нулю, и в те же моменты точки траектории сколько угодно близко подходят к своему начальному положению (как в теореме по Пуанкаре о возвращении). В качестве примера рассмотрено преобразование $x\mapsto 2x$ mod 1 единичного отрезка 0 $\le x \le 1$, тесно связанное с испытаниями Бернулли.
Ключевые слова:
метрическое пространство, мера Каратеодори, эргодические преобразования, суммы Биркгофа, свойства возвращаемости, теорема Хопфа, испытания Бернулли.
УДК:511.9
Статья представлена к публикации:В. В. Козлов Поступило: 02.01.2025 После доработки: 04.02.2025 Принято к публикации: 04.02.2025
