ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ОСНОВЫ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ

Численное решение третьей начально-краевой задачи для нестационарного уравнения теплопроводности с дробными производными

А. Г. Омарова, В. Д. Бейбалаев

Дагестанский государственный университет, Россия, 367025, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, д. 43а

Аннотация: В последнее время для описания различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется уравнениям в частных производных дробного порядка, которые являются обобщением уравнений в частных производных целого порядка.
Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе называют уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы для решения нагруженных уравнений в частных производных целого и дробного порядка, поскольку аналитические методы решения сложны в реализации. Достаточно эффективным методом численного решения такого рода задач является метод конечных разностей, или метод сеток.
Исследована начально-краевая задача в прямоугольнике $\bar{D}=\{(x,t): 0\leq x\leq l, 0\leq t\leq T\}$ для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с композицией дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова и с граничными условиями первого и третьего рода. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка в дифференциальной и в разностной форме. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывную зависимость решения от входных данных задачи. Получен разностный аналог для композиции дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова порядка $(2-\beta)$ и построена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу с порядком $O(\tau+h^{2-\beta})$. Доказана сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Ключевые слова: краевая задача, априорная оценка, метод энергетических неравенств, аппроксимация, дробная производная Капуто – Герасимова, дробная производная Римана – Лиувилля

УДК: 519.63

Поступила в редакцию: 31.05.2024
Исправленный вариант: 17.09.2024
Принята в печать: 26.09.2024

DOI: 10.20537/2076-7633-2024-16-6-1345-1360