Аннотация:
В работе обобщается вероятностный метод Эйнштейна для броуновского движения на случай сжимаемых жидкостей в пористых средах. Рассматривается многомерный случай с произвольными функциями распределения вероятностей. Связывая ожидаемое смещение за единицу времени со скоростью жидкости, мы выводим анизотропное уравнение диффузии-переноса в недивергентной форме, содержащее член переноса. В предположении закона Дарси получено соответствующее нелинейное уравнение в частных производных для функции плотности. Исследованы классические решения этого уравнения, доказаны принцип максимума и сильный принцип максимума. Кроме того, получены оценки экспоненциального убывания решений при всех временах, в частности, доказана их экспоненциальная сходимость при $t \to \infty.$ В основе анализа лежат явно построенные преобразования типа Бернштейна—Коула—Хопфа, которые удаётся сконструировать даже для весьма общих уравнений состояния. Доказана и использована лемма о росте во времени, позволившая получить указанные оценки убывания.
Ключевые слова:
парадигма Эйнштейна, уравнение диффузии-переноса, фильтрация жидкости в пористых средах, нелинейность, уравнения в частных производных в недивергентной форме, качественный анализ, преобразование Бернштейна—Коула—Хопфа, асимптотический анализ.
Полный текст:
PDF файл (388 kB)