Равносходимость разложений по корневым функциям дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье

В. С. Рыхлов

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, Саратов, Россия

Аннотация: Рассматривается несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор, определяемый на конечном отрезке линейным дифференциальным выражением $n$-го порядка с ненулевым коэффициентом при $(n-1)$-й производной и двухточечными регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Исследуется вопрос о равномерной равносходимости разложений заданной функции в биортогональный ряд по собственным и присоединенным или, кратко, корневым функциям этого оператора и в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также об оценке разности соответствующих частичных сумм (или, коротко, о скорости равносходимости) при самых общих условиях на разлагаемую функцию и коэффициент при $(n-1)$-й производной. Получены оценки разности разложений в терминах общих (интегральных) модулей непрерывности разлагаемой функции и коэффициента при $(n-1)$-й производной, равномерные внутри основного интервала. Из этих оценок выводятся соответствующие оценки в случае, когда модули непрерывности оцениваются сверху медленно меняющимися функциями и, в частности, логарифмическими функциями. На основе этого сформулированы достаточные условия равносходимости в указанных случаях. Эти результаты получаются с использованием полученной ранее автором оценки разности частичных сумм разложений заданной функции в биортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям рассматриваемого дифференциального оператора и в модифицированный тригонометрический ряд Фурье, а также аналогов теоремы Штейнгауза. Модификация тригонометрического ряда Фурье заключается в применении к обычному тригонометрическому ряду Фурье вполне конкретного ограниченного оператора, выражающегося через коэффициент при $(n-1)$-й производной, а к разлагаемой функции  — обратного к нему оператора.

Ключевые слова: несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор, разложение по корневым функциям, ряд Фурье, равносходимость разложения, скорость равносходимости.

УДК: 517.984

DOI: 10.22363/2413-3639-2025-71-3-452-477