Комбинаторно-аналитический метод решения волнового уравнения с переключениями скорости

А. И. Нижников^a, О. Э. Яремко^b, Н. Н. Яремко^c, С. А. Муханов<sup>d

a</sup> Московский педагогический государственный университет (г. Москва)
^b Московский государственный технический университет «Станкин» (г. Москва)
^c Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» (г. Москва)
^d Российский технологический университет «МИРЭА» (г. Москва)

Аннотация: В работе получено полное аналитическое решение задачи о свободных колебаниях струны с произвольным числом скачкообразных изменений скорости распространения волн. Предложен новый комбинаторно-аналитический метод, позволяющий представить решение в виде компактной явной формулы. Доказано, что решение представляет собой суперпозицию $2^{N-1}$ волн, каждая из которых соответствует одному из возможных путей распространения возмущения через моменты переключения скорости.
Установлено, что коэффициенты в полученной формуле имеют ясный физический смысл и представляют собой произведения коэффициентов прохождения и отражения на границах раздела сред. Метод обобщен на случай конечной струны с нулевыми граничными условиями Дирихле.
Решение построено в замкнутой форме и подтверждено двумя независимыми методами: методом Фурье и методом математической индукции. Полученные результаты позволяют анализировать сложные волновые процессы в средах с кусочно-постоянными параметрами и могут быть использованы в задачах акустики, сейсмологии и теории управления.

Ключевые слова: волновое уравнение, скачкообразное изменение скорости, аналитическое решение, метод Фурье, рекуррентные соотношения, коэффициенты отражения и прохождения, конечная струна, условия Дирихле.

УДК: 517.95

Поступила в редакцию: 23.04.2025
Принята в печать: 17.10.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-4-343-355