О приближении действительных чисел суммами двух степеней простых чисел

А. П. Науменко<sup>ab

a</sup> ОАО «ИнфоТеКС» (г. Москва)
^b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва)

Аннотация: В статье для любого фиксированного $c\geq 1$ получена нижняя оценка $\kappa(c)$, при выполнении которой к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти суммой двух степеней простых чисел $p_1^c+p_2^c$ на расстояние не большее, чем $H=N^{\kappa(c)+\varepsilon}$, где $\varepsilon$ – произвольное положительное число.
Данный результат получен при помощи плотностной техники, разработанной Ю. В. Линником в 1940-х годах. Плотностная техника основана на применении явных формул, выражающих суммы по простым числам через суммы по нетривиальным нулям дзета-функции Римана и использовании плотностных теорем – оценок количества нетривиальных нулей дзета-функции, лежащих в критической полосе и таких, что их реальная часть больше некоторого $\sigma$, где $1>\sigma\geq 1/2$.
Содержащиеся в статье результаты основаны на применении современных плотностных теорем, полученных А. Ивичем. Кроме того, при доказательстве была использована теорема Бейкера, Хармана, Пинтца: к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти простым числом на расстояние не большее, чем $H=N^{21/40+\varepsilon}$. Также использован результат М. Хаксли об оценке значений дзета-функции Римана на критической прямой: $|\zeta(1/2+it)|\ll t^{32/205+\varepsilon}.$

Ключевые слова: простые числа, диофантовы неравенства, плотностная теорема.

УДК: 511

Поступила в редакцию: 18.05.2025
Принята в печать: 17.10.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-4-328-342