Bases of associated Galois modules in general wildly ramified extensions and in elementary abelian extensions of degree $p^2$

[Базисы ассоциированных модулей Галуа в общих дико разветвленных расширениях и в элементарных абелевых расширениях степени $p^2$]

M. V. Bondarko^a, K. S. Ladny^b, K. I. Pimenov<sup>a

a</sup> Saint Petersburg State University (St. Petersburg)
^b National Research University “Higher School of Economics” (Moscow)

Аннотация: Данная статья посвящена исследованию ассоциированных модулей и порядков Галуа для вполне разветвленных расширений полей дискретного нормирования. Основное внимание уделяется явным вычислениям и построению базисов для этих модулей, в частности в случае элементарных абелевых расширений степени $p^2$. Авторы вводят и развивают теорию градуированно-независимых множеств и диагональных базисов, которые позволяют явно описывать модули $\gamma_i$ и соответствующие ассоциированных порядков. Центральный результат работы — теорема 3.3.2, которая дает явное описание модулей $\gamma_i$ для расширений с группой Галуа $(\mathbb Z/ p\mathbb Z)^2$ и различными по модулю $p^2$ скачками ветвления. В работе исследованы свойства введенных конструкций, в том числе их поведение относительно подъема на ручные расширения и связь с классическими ассоциированными порядками. Полученные результаты обобщаются на случай относительных ассоциированных модулей $\gamma_i^0=\gamma_i\cap k_0[G]$, где $k_0\subset k$. В работе используется построенный ранее первым автором изоморфизм между между $K\otimes_k K$ и $K[G]$, и представлен детальный анализ фильтраций на тензорных квадратах и их связи со структурой модулей Галуа. Статья может представлять интерес для специалистов по теории чисел и арифметической геометрии.

Ключевые слова: ассоциированные модули Галуа, ассоциированные порядки, дикий тип ветвления, расширения полей дискретного нормирования, элементарные абелевы расширения, градуированные базисы, скачки ветвления, теория полей классов.

УДК: 512.623

Поступила в редакцию: 14.06.2025
Принята в печать: 17.10.2025

Язык публикации: английский

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-4-71-87