Развитие метода Зигеля – Шидловского в теории трансцендентных чисел

А. И. Галочкин^a, В. А. Горелов^b, Ю. В. Нестеренко^a, В. Х. Салихов^c, В. Г. Чирский<sup>a

a</sup> Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва)
^b Московский энергетический институт (г. Москва)
^c г. Брянск

Аннотация: В начале статьи приводится краткая биография А.Б. Шидловского. Затем рассказано об истоках метода — теоремах Эрмита и Линдемана. Формулируются основные определения и результаты работ К. Зигеля 1929 и 1949 годов. Дано определение $E$-функции и условия нормальности совокупности функций, приведены примеры. Рассказ о работах А.Б. Шидловского начат с условия неприводимости системы функций. Затем сформулированы три основные теоремы А.Б. Шидловского и их основные следствия. Приведена теорема о линейной независимости значений совокупности $E$-функций, с коэффициентами из мнимого квадратичного поля. Сформулирована аналогичная теорема в случае произвольных алгебраических коэффициентов. Сформулирована гипотеза К. Зигеля о структуре множества $E$-функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, и рассказано о её решении. Приведены формулировки теорем, при условиях которых обобщённые гипергеометрические функции алгебраически независимы над полем рациональных функций, а их значения в алгебраических точках алгебраически независимы. Рассказано о количественных задачах — оценках мер линейной и алгебраической независимости значений функций. Приведены неулучшаемые оценки. Рассмотрен ещё один класс функций, к которому можно применить метод Зигеля – Шидловского, класс $G$-функций. Сформулировано условие сокращения факториалов, выполняющееся для всех рассматриваемых $G$-функций. Приведено понятие глобального соотношения и рассказано о возможности его применения к рядам, расходящимся в поле комплексных чисел. Рассказано об арифметической природе просуммированых расходящихся рядов.

Ключевые слова: трансцендентные числа,метод Зигеля – Шидловского.

УДК: 511.36

Поступила в редакцию: 24.07.2025
Принята в печать: 17.10.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-4-7-32