Эндоморфизмы специального вида конечно порожденных абелевых групп

А. Сарвари

Московский педагогический государственный университет (г. Москва)

Аннотация: Работа посвящена абелевым группам, содержащим хотя бы один эндоморфизм, ядро которого совпадает с его образом. Заметим, что условие $\ker\varphi=\mathrm{Im} \varphi$ влечет за собой равенство $\varphi^2=0$, то есть $\varphi$ является нильпотентным эндоморфизмом индекса нильпотентности $2$.
Основным техническим результатом работы является теорема 1, в которой на языке подгрупп получен критерий существования эндоморфизма абелевой группы, ядро которого совпадает с его образом.
В этой статье существование эндоморфизма, ядро которого совпадает с его образом, полностью решено для абелевых групп из классов циклических и коциклических групп, элементарных $p$-примарных абелевых групп и конечно порожденных абелевых групп.
Главным результатом работы является теорема 12, в которой доказано, что конечно порожденная абелева группа $A$ обладает эндоморфизмом, образ которого совпадает с его ядром тогда и только тогда, когда либо $A$ — конечная группа, порядок которой является полным квадратом, либо $A=F \oplus K$, где $F$ — свободная абелева группа четного ранга, а $K$ — произвольная конечная абелева группа.

Ключевые слова: абелева группа, эндоморфизм, нильпотентность, элементарная группа, конечно порожденная группа.

УДК: 514.541

Поступила в редакцию: 13.05.2025
Исправленный вариант: 27.08.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-3-247-256