Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами

Ф. З. Рахмонов

Институт математики им. А. Джураева НАН Таджикистана (г. Душанбе)

Аннотация: Для достаточно больших целых чисел $K$, $x$, $y$, $q$ при условии $K\le y<x$, $n$ — фиксированное натуральное число, $\alpha$ — вещественное, $\left|\alpha-\frac{a}{q}\right|\le\frac1{q^2}$, $(a,q)=1$, $q\ge1$, получена оценка вида
$$ \sum_{k=1}^K\left|\sum_{x-y<p\le x}e(\alpha kp^n)\right| \ll Ky\left(\frac1q+\frac1y+\frac{q}{Ky^n}+\frac1{K^{2^{n-1}}}\right)^{2^{-n-1}}\mathscr{L}^{\frac{n^2}{2^{n+1}}}, $$
что является усилением и обобщением теоремы И. М. Виноградова о распределении дробных частей $\{\alpha p\}$.

Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма Г. Вейля с простыми числами, равномерное распределение по модулю единицы, нетривиальная оценка, дробная часть.

УДК: 511. 344

Поступила в редакцию: 07.04.2025
Исправленный вариант: 27.08.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-3-235-246