Короткие квадратичные тригонометрические суммы с простыми числами в больших дугах

З. Х. Рахмонов^a, Р. Л. Хотамова^b, М. С. Шарифзода<sup>b

a</sup> Таджикский национальный университет (г. Душанбе)
^b Институт математики им. А. Джураева НАН Таджикистана (г. Душанбе)

Аннотация: Воспользовавшись вторым моментом $L$-функций Дирихле на критической прямой в больших дугах ${\mathfrak M}({\mathscr L}^b)$, $\tau=y^3x^{-1} {\mathscr L}^{-b_1}$, за исключением малой окрестности центров этих дуг $|\alpha-\frac{a}{q}|>(8\pi y^2)^{-1}$ при $y\ge x^{1-\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle{9-4\sqrt{2}}}}{\mathscr L}^{c_2}$, $c_2=\frac{2A+24+\left(\sqrt{2}-1\right)b_1}{2\sqrt{2}-1}$, получена оценка:
$$ S_2(\alpha;x,y)=\sum_{x-y<n\le x}\Lambda(n)e(\alpha n^2)\ll y{\mathscr L}^{-A}, $$
а в малой окрестности $|\alpha-\frac{a}{q}|\le(8\pi y^2)^{-1}$ центра больших дуг ${\mathfrak M}({\mathscr L}^b)$ для $S_2(\alpha;x,y)$ при $y\ge x^{\frac{\scriptstyle5}{\scriptstyle8}}{\mathscr L}^{1,5A+0,25b+18}$ получена асимптотическая формула с остаточным членом, где $A$, $b_1$, $b$ — произвольные фиксированные положительные числа, ${\mathscr L}=\ln xq$.

Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма с простыми числами, большие дуги, плотностная теорема, $L$-функция Дирихле.

УДК: 511.32

Поступила в редакцию: 22.04.2025
Исправленный вариант: 27.08.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-3-220-234