Равномерное распределение в единичном кубе взвешенных узлов квадратурной формулы

Е. М. Рарова^a, Н. Н. Добровольский^ba, И. Ю. Реброва^a, И. Н. Балаба<sup>a

a</sup> Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула)
^b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва)

Аннотация: В работе даётся определение равномерного распределения в единичном $s$-мерном кубе последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток II типа с весовой функцией. Кроме того, даётся определение равномерного распределения в единичном $s$-мерном кубе $G_s$ последовательности сеток $ M_n$ с весовой функцией.
Даётся доказательство аналога обобщённого критерия Г. Вейля об необходимых и достаточных условиях равномерного распределения в единичном $s$-мерном кубе $G_s$ последовательности сеток $ M_n$ с весами.
Так как определение равномерного распределения последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток II типа с весовой функцией отличается от определения равномерного распределения последовательности сеток $ M_n$ с весовой функцией, то в работе доказывается второй аналог критерия Вейля о необходимых и достаточных условиях равномерного распределения в единичном $s$-мерном кубе $G_s$ последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток II типа.
Доказана следующая теорема:
Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции $f(\vec x)$ сходится абсолютно, $C(\vec m)$ — ее коэффициенты Фурье и $S_{M,\vec\rho}(\vec m)$ — тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство
\begin{gather*} R_N[f]=C(\vec 0)\left(\dfrac{1}{N}S_{M,\vec\rho}(\vec 0)-1\right)+\dfrac{1}{N}\mathop{{\sum}'}\limits_{m_1, \ldots, m_s=-\infty}^{\infty}C(\vec m)S_{M,\vec\rho}(\vec m)=\cr=C(\vec 0)\left(S_{M,\vec\rho}^*(\vec 0)-1\right)+\mathop{{\sum}'}\limits_{m_1, \ldots, m_s=-\infty}^{\infty}C(\vec m)S_{M,\vec\rho}^*(\vec m) \end{gather*}
и при $N\to\infty$ погрешность $R_N[f]$ будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда взвешенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном $s$–мерном кубе.

Ключевые слова: алгебраические решётки, алгебраические сетки, тригонометрические суммы алгебраических сеток с весами, весовые функции.

УДК: 511.3

Поступила в редакцию: 18.03.2025
Исправленный вариант: 27.08.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-3-185-219