О полумодулях над тривиальным полукольцом

Е. М. Вечтомов, А. А. Петров

Вятский государственный университет (г. Киров)

Аннотация: Изучаются полумодули над одноэлементным полукольцом $\{e\}$, которое мы называем тривиальным полукольцом. Под полумодулем над тривиальным полукольцом понимается коммутативная полугруппа $\left\langle A, +\right\rangle$ вместе с отображением $e: A \to A$, $a\to ea$, которое: аддитивно, то есть $e(a+b)=ea+eb$ для любых $a, b\in A$; идемпотентно, то есть $e(ea)=ea$ для всех $a\in A$; $ea+ea=ea$ для любого $a\in A$. При этом отображение $e: A \to A$, или действие $e$ на $A$, называется ретракцией коммутативной полугруппы $\left\langle A, +\right\rangle$. Для ретракции $e$ на $A$ множество $eA$ будет множеством всех неподвижных точек отображения $e$, называемым $e$-множеством. Коммутативная полугруппа $\left\langle A, +\right\rangle$ может иметь самые разные ретракции и, соответственно, различные $e$-множества. Кроме того, одно и то же множество на полурешетке $A$ может служить $e$-множеством самых разных ретракций $e$ на $A$.
На ряде примеров показано, что целесообразно исследовать ретракции на полурешетках $\left\langle A, +\right\rangle$, которые будем называть $e$-полумодулями.
Дана некоторая классификация ретракций. Описано строение ретракций цепей. Доказано, что все непустые подмножества произвольной цепи являются $e$-множествами тогда и только тогда, когда эта цепь дискретная. Рассмотрены возрастающие, убывающие и линейные ретракции на полурешетках и решетках. Показано, что возрастающие ретракции e и убывающие ретракции $e$ однозначно определяются своими $e$-множествами.
Получены также другие результаты, приведены соответствующие примеры.

Ключевые слова: полукольцо, полумодуль, ретракция, тривиальное полукольцо, полурешетка, $e$-полумодуль, $e$-множество, решетка, цепь.

УДК: 512.558

Поступила в редакцию: 11.01.2025
Исправленный вариант: 27.08.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-3-71-80