Тензор инерции твердого тела на плоскости Лобачевского и в псевдо-евклидовом пространстве

А. Ю. Шуберт

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва)

Аннотация: В работе исследуется тензор инерции твердого тела в трехмерном (псевдо-)евклидовом пространстве $(V, g)$. Конфигурационное многообразие $Q$ системы — шестимерная группа Ли $\mathrm{E}(V,g)\cong V\leftthreetimes \mathrm{Aut}(V,g)$ движений этого пространства, а кинетическая энергия является квадратичной формой $T(\mathbf{w},a)$ на алгебре Ли $\mathfrak{e}(V,g)\cong V+\mathfrak{g}$, где $\mathfrak{g}=\mathfrak{aut}(V,g)$. Это позволяет определить симметрический оператор $J:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}^*$ со свойством $T(0,a)=\frac12(Ja,a)$, называемый (ковариантным) тензором инерции твердого тела. Для его вычисления введено «псевдо-евклидово векторное произведение» $[,]_g$ в (псевдо-)евклидовом пространстве $(V,g)$ и с помощью этой операции построен изоморфизм $\mu:V\to\mathfrak{g}$. Доказано, что при этом изоморфизме построенная операция $[,]_g$ преобразуется в скобку Ли на алгебре Ли $\mathfrak{g}$, а скалярное произведение — в форму Киллинга – Картана с точностью до скалярного множителя. Получены явные формулы для операции $[,]_g$.
С помощью построенной операции $[,]_g$ определен оператор $\widetilde{\mathbf{\omega}}=\mu\mathbf{\omega}\in\mathfrak{g}$ мгновенного вращения с угловой скоростью $\mathbf{\omega}\in V$, и для любой точки $\mathbf{q}\in V$ определены ее вектор мгновенной скорости $\mathbf{v}=\widetilde{\mathbf{\omega}}\mathbf{q} = [\mathbf{\omega},\mathbf{q}]_g\in V$, вектор кинетического момента $\mathbf{M}^{(\mathbf{q})}=[\mathbf{q},m\mathbf{v}]_g \in V$ и оператор инерции $\widehat J^{(\mathbf{q})}:V\to V$, $\mathbf{\omega}\mapsto\mathbf{M}^{(\mathbf{q})}$. Доказаны симметричность оператора инерции $\widehat J^{(\mathbf{q})}$ и формула $T^{(\mathbf{q})} =\frac12g(\widehat J^{(\mathbf{q})}\mathbf{\omega},\mathbf{\omega})$ для кинетической энергии точки.
Изучены геометрические свойства оператора инерции $\widehat J$ для одноточечных и многоточечных тел. В частности, в псевдо-евклидовом случае ограничение соответствующей квадратичной формы на внутренность светового конуса неотрицательно. Построены примеры $2$- и $3$-точечных тел, показывающие, что других ограничений на сигнатуру оператора инерции нет. Найдены все возможные сигнатуры для оператора инерции $\widehat J$ твердого тела в трехмерном псевдо-евклидовом пространстве. Доказано, что для тел, расположенных внутри светового конуса (например, для «тарелок» на плоскости Лобачевского), оператор инерции имеет сигнатуру $(-,+,+)$ или $(0,+,+)$. Для тел, расположенных снаружи светового конуса, возможны сигнатуры $(-,s,-)$ для всех $s\in\{0,+,-\}$. Остальные сигнатуры $(-,+,0)$ и $(-,0,0)$ также реализуются $2$- и $3$-точечными телами.

Ключевые слова: тензор инерции, твердое тело, псевдо-евклидово пространство, плоскость Лобачевского, сигнатура, изоморфизм.

УДК: 514

Поступила в редакцию: 02.01.2025
Принята в печать: 07.04.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-2-232-253