Представления действительных чисел

А. Гияси^a, И. П. Михайлов^b, В. Н. Чубариков<sup>c

a</sup> Университет им. Алламе Табатабаи (Иран)
^b Казанский авиационный институт (г. Лениногорск)
^c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва)

Аннотация: В работе доказаны теоремы о представлении действительных чисел $\alpha$ с помощью бесконечной итерации последовательности положительных монотонных функций $\alpha_n=f_n(x_n)$ в виде
$$ \alpha=\lambda_0+f_1(\lambda_1+f_2(\lambda_2+f_3(\lambda_3+\dots))), $$
где «цифры» $\lambda_n, n\geq 0,$ и “остатки”
$$ r_n=r_n(\alpha)=f_{n+1}(\lambda_{n+1}+f_{n+2}(\lambda_{n+2}+f_{n+3}(\lambda_{n+3}+\dots))), n\geq 0, $$
определяются по следующим рекуррентным формулам
$$ \lambda_0=[\alpha], r_0=\{\alpha\}, $$

$$ \lambda_n=[\varphi_n(r_{n-1}(\alpha))], r_n=\{\varphi(r_{n-1})\}, $$
причем $\{z\}$ и $[z]$ обозначают соответственно дробную и целую части действительного числа $z$ и $x_n=\varphi_n(\alpha_n), n\geq 1,$ — обратные функции для $\alpha_n=f_n(x_n).$
В частности, представление числа $\alpha$ с помощью функции $f(x)=\frac 1x$ приводит к цепной дроби для числа $\alpha.$ Общий случай, когда $f(x)$ — убывающая функция, был рассмотрен Б. Х. Биссинжером (1944) и А. Реньи (1957). Для функции $f(x)=\frac xq$ при $q\geq 2$ — натуральном числе получается $q$-адическое представление вида $\alpha=\sum\lambda_nq^{-n},$ где цифры $\lambda_n, n\geq 1,$ могут принимать все целые значения от $0$ до $q-1.$ Случай возрастающей функции $f(x)$ исследовался С. И. Эвереттом (1946) и А. Реньи (1957). Представление $\alpha$ для $f(x)=\frac x\theta$ при нецелом $\theta>1$ изучалось А. Реньи (1957) и А. О. Гельфондом (1959). В настоящей работе для последовательности функций $f_n(x)=\frac x{q_n}, q_n\geq 2,$ — целые числа, исследуется представление $\alpha$ по мультипликативной системе чисел при $n\geq 1$ в виде
$$ \alpha=\lambda_0+\frac{\lambda_1}{q_1}+\dots +\frac{\lambda_n}{q_1\dots q_n}+\frac{x_n}{q_1\dots q_n}, $$
где цифры $\lambda_n$ могут принимать целые значения от $0$ до $q_n-1.$ А. Х. Гияси (2007) обобщила теорему Гельфонда, касающуюся мультипликативной системы чисел. Пусть $\theta_n, n\geq 1,$ — последовательность действительных чисел, каждое из которых больше единицы. Тогда любое действительное число $\alpha, 0<\alpha<1,$ может быть представлено в форме $\alpha=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\lambda_k}{q_1\dots q_k}+\frac{x_n}{q_1\dots q_n}, n\geq 1,$ где последовательность $x_n$ остаточных членов определяется рекуррентно
$$ x_0=\{\alpha\}, x_1=\{\theta_1x_0\},\dots, x_n=\{\theta_nx_{n-1}\},\dots, $$
и последовательность целых чисел $\lambda_n$ определяется по правилу
$$ \lambda_0=[\alpha], \lambda_1=[\theta_1x_0],\dots, \lambda_n=[\theta_nx_{n-1}],\dots. $$


Ключевые слова: $q$-адическое представление, непрерывная (цепная) дробь, мультипликативная система чисел.

УДК: 511.3

Поступила в редакцию: 25.01.2025
Принята в печать: 07.04.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-2-61-70