Проблема построения геодезических в классе Громова – Хаусдорфа: оптимальная хаусдорфова реализация не всегда существует

А. А. Вихров

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва)

Аннотация: Данная работа посвящена изучению геодезических в классе метрических пространств, наделенных расстоянием Громова–Хаусдорфа. Исследование показывает, что построение линейной геодезической невозможно в общем случае, даже если рассматривать класс Громова – Хаусдорфа, отфакторизованным по нулевым расстояниям. Кроме того, установлено, что оптимальная хаусдорфова реализация разбивает метрические пространства, находящиеся на нулевом расстоянии, на классы эквивалентности с совпадающим пополнением. Также продемонстрировано, как можно построить геодезическую в примере Хансена, используя $0$-модификации. Тем не менее показано, что в общем случае невозможно построение геодезической, используя оптимальную хаусдорфову реализацию. Тем самым показано, что геодезические в классе метрических пространств имеют еще более богатую структуру и на класс метрических пространств не могут быть перенесены методы построения геодезических из пространства Громова – Хаусдорфа.

Ключевые слова: Класс Громова – Хаусдорфа, метрические пространства, Хаусдорфова реализация, метрические пространства в общем положении.

УДК: 517

Поступила в редакцию: 14.12.2024
Принята в печать: 07.04.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-2-49-60