О связи между второй разделенной разностью и второй производной в задаче экстремальной интерполяции в среднем

В. Т. Шевалдин

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН (г. Екатеринбург)

Аннотация: В работе на произвольной сетке $\Delta=\{x_k\}^{\infty}_{k=-\infty}$ числовой оси сформулирована общая задача экстремальной функциональной интерполяции в среднем действительных функций, имеющих на оси почти всюду производную $n$-го порядка. Требуется найти наименьшее значение нормы этой производной в пространстве $L_{\infty}$ для функций $f$, интерполирующих в среднем (с интервалами усреднения длины $2h$) любую заданную последовательность $y=\{y_k\}^{\infty}_{k=-\infty}$ действительных чисел, для класса последовательностей $Y$, у которых все разделенные разности $n$-го порядка на такой сетке узлов ограничены сверху. В данной работе задача решается в случае $n=2$. Для величины второй производной в терминах шагов $h_k=x_{k+1}-x_k$ сетки $\Delta$ получены оценки сверху и снизу, если выполнено неравенство $2h\le \underline{h}=\inf_k h_k$. Работа является продолжением исследований Ю. Н. Субботина, автора и С. И. Новикова в известной задаче Яненко — Стечкина экстремальной функциональной интерполяции, поставленной в начале 60-х годов прошлого века для равномерной сетки узлов.

Ключевые слова: интерполяция в среднем, производная, разделенная разность, ось, произвольная сетка узлов, сплайн.

УДК: 517.5

Поступила в редакцию: 26.11.2024
Принята в печать: 10.03.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-1-131-141