О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана

М. Ш. Шабозов^a, Д. К. Тухлиев<sup>b

a</sup> Таджикский национальный университет (г. Душанбе)
^b Худжандский государственный университет им. Б. Гафурова (г. Худжанд)

Аннотация: В работе изучаются экстремальные задачи, связанные с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Бергмана $B_2$, с конечной нормой
$$\|f\|_{2}=\left(\frac{1}{\pi}\iint_{|z|<1}|f(z)|^{2}d\sigma\right)^{1/2}<\infty.$$
Пусть
$$B^{(r)}_2:=\left\{f\in B_2:\|f^{(r)}\|_2<\infty\right\},\quad r\in\mathbb{Z_+}\quad(f^{(0)}\equiv f).$$
Доказана точная теорема между величиною наилучшего приближения $E_{n-1}(f)_2$ и усредённым с весом $\sin (\pi t/h)$ $(0<h\le\pi/n)$ значением модуля непрерывности $m$-го порядка $\omega_{m}(f^{(r)},t)_2$ функций $f\in B^{(r)}_2.$ Выясняется связь доказанной теоремы с поведением точных констант в неравенстве Джексона-Стечкина для модулей непрерывности $\omega_{m}(f^{(r)},t)_2$. Для класса функций $W_{m}^{(r)}(\Phi)_2$, определённой заданной монотонно возрастающей мажорантой $\Phi$, удовлетворяющей некоторым ограничениям, вычислены точные значения различных $n$-поперечников в пространстве $B_2$.

Ключевые слова: модуль непрерывности, неравенства Джексона – Стечкина, $n$-поперечники, пространство Бергмана.

УДК: 517.5

Поступила в редакцию: 22.12.2024
Принята в печать: 10.03.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-1-116-130