Гладкое многообразие сдвинутых решёток

Е. Н. Смирнова^a, О. А. Пихтилькова^b, Н. Н. Добровольский^cd, И. Ю. Реброва^d, Н. М. Добровольский<sup>d

a</sup> Оренбургский государственный университет (г. Оренбург)
^b Российский технологический университет МИРЭА (г. Москва)
^c Тульский государственный университет (г. Тула)
^d Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула)

Аннотация: В предыдущей работе авторов заложены основы теории гладких многообразий теоретико-числовых решёток. Рассмотрен случай произвольных многомерных решёток.
В данной статье рассмотрен общий случай сдвинутых многомерных решёток. Отметим, что геометрия метрического пространств многомерных решёток гораздо сложнее, чем геометрия обычного евклидова пространства. Это видно из парадокса неаддитивности длины отрезка в пространстве сдвинутых одномерных решёток. Из наличия этого парадокса следует, что стоит открытой проблема описания геодезических линий в пространствах многомерных решёток, а также в нахождении формулы для длины дуг линий в этих пространствах. Естественно, что было бы интересно не только описание этих объектов, но и получение теоретико-числовой интерпретации этих понятий.
Дальнейшим направлением исследований может быть изучение аналитического продолжения гиперболической дзета-функции на пространствах сдвинутых многомерных решёток. Как известно, аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток построено для произвольной декартовой решётки. Не изучен даже вопрос о непрерывности этих аналитических продолжений в левой полуплоскости на пространстве решёток. Всё это, на наш взгляд, актуальные направления дальнейших исследований.

Ключевые слова: алгебраические решётки, метрическое пространство решёток.

УДК: 511.42

Поступила в редакцию: 10.12.2024
Принята в печать: 10.03.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-1-99-115