О некоторых экстремальных задачах для целых функций экспоненциального типа

А. Д. Манов<sup>ab

a</sup> Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук (г. Москва)
^b Донецкий государственный университет (г. Донецк)

Аннотация: В статье изучается ряд экстремальных задач для неотрицательных и интегрируемых на вещественной оси целых функций экспоненциального типа $\leqslant\sigma$ (класс $\mathcal{E}_{1,\sigma}^+$).
Рассматриваемые задачи имеют следующий вид. Пусть $\Lambda_\rho$ – инвариантный относительно сдвига оператор с локально интегрируемым символом $\rho(x)$, $x\in\mathbb{R}$ таким, что $\rho(x)=\overline{\rho(-x)}$, $x\in\mathbb{R}$. При фиксированном $\sigma>0$ требуется найти следующие величины:
\begin{equation*} \begin{split} M^{\ast}(\rho,\sigma)&=\sup\{(\Lambda_\rho f)(0):f\in\mathcal{E}_{1,\sigma}^{+},\ \|f\|_1=2\pi\},\\ m^{\ast}(\rho,\sigma)&=\inf\{(\Lambda_\rho f)(0):f\in\mathcal{E}_{1,\sigma}^{+},\ \|f\|_1=2\pi\}. \end{split} \end{equation*}
Данная общая задача сводится к равносильной экстремальной задаче для положительно определённых функций, решение которой известно. Как следствие, нами получены явные значения величин $M^{\ast}(\rho,\sigma)$ и $m^{\ast}(\rho,\sigma)$ для ряда различных символов $\rho$. В частности, рассмотрены случаи, когда $\Lambda_\rho$ – дифференциальный или разностный оператор специального вида.

Ключевые слова: целые функции экспоненциального типа, экстремальные задачи, положительно определенные функции, теорема Бохнера, преобразование Фурье.

УДК: 517.5+519.213

Поступила в редакцию: 19.11.2024
Принята в печать: 10.03.2025

DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-1-47-61

Реферативные базы данных:

•