К теории двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем дифференциальных уравнений

Г. Джангибеков^a, Г. М. Козиев<sup>b

a</sup> Институт математики им. А. Джураева НАН Таджикистана (г. Душанбе)
^b Международный университет туризма и предпринимательства Таджикистана (г. Душанбе)

Аннотация: В лебеговом пространстве с весом $L^p_{\beta-{2}/{p}}(D)\ (1<p<\infty, 0<\beta<2),$ где $D$ – конечная односвязанная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова $\Gamma,$ и содержащая внутри точку $z=0,$ рассматривается двумерный сингулярный интегральный оператор типа Михлина – Кальдерона – Зигмунда вида
\begin{equation} \notag \begin{split} & (Af)(z)\equiv a_0(z)f(z)+b_0(z)\overline{f(z)}+ \\ &+\iint_D\frac{\Omega_1(z,\theta)}{|\zeta-z|^2}f(\zeta)ds_\zeta+ \iint_D\frac{\overline{\Omega_2(z,\theta)}}{|\zeta-z|^2}\overline{f(\zeta)}ds_\zeta,\ \theta=\arg(\zeta-z). \end{split} \end{equation}
В зависимости от гомотопического класса $\mathfrak M_{\nu} (\nu=0,\pm 1,\ldots,\pm m)$ оператора $A$ установлены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости оператора $A$ в $L^p_{\beta-{2}/{p}}(D)\ (1<p<\infty, 0<\beta<2)$ и найдены формулы для подсчёта индекса оператора.
Полученные результаты применяются к задачам Дирихле и Неймана для общих эллиптических систем двух уравнений с двумя независимыми переменными высшего порядка.

Ключевые слова: сингулярный интегральный оператор, символ оператора, нётеровость, индекс оператора, эллиптическая система, задача Дирихле.

УДК: 517.968.2

Поступила в редакцию: 23.05.2024
Принята в печать: 26.12.2024

DOI: 10.22405/2226-8383-2024-25-5-74-89