КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

Бесконечная алгебраическая независимость некоторых почти полиадических чисел

В. Ю. Матвеев

Российская академия народного хозяйства и государственной службе при Президенте РФ (г. Москва)

Аннотация: В работе рассматриваются $F$–ряды $f_{i,j}(z) = \sum_{n=0}^{\infty} {\left(\alpha_i\right)}_n{\left(\beta_j z\right)}^n$, где $\alpha_i$, $\beta_j$ – некоторые рациональные числа. Эти ряды удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из $\mathbb{C}(z)$. Используя предыдущие результаты, полученные с помощью подхода, предложенного в одной из работ В.Х. Салихова, устанавливается алгебраическая независимость этих рядов над $\mathbb{C}(z)$. Применение общей теоремы об арифметических свойствах $F$–рядов из работ В.Г. Чирского, позволяет утверждать бесконечную алгебраическую независимость значений этих рядов. Это означает, что для любого многочлена $P\left(x_{1,1},\ldots,x_{m,n}\right)$ с целыми коэффициентами, отличного от тождественного нуля и любого целого числа $\xi \ne 0$, существует бесконечное множество простых чисел $p$ таких что в поле $\mathbb{Q}_p$ выполняется неравенство ${\left|P\left(f_{1,1}^{(p)}(\xi),\ldots,f_{m,n}^{(p)}(\xi)\right)\right|}_p \ne 0$. Здесь символы $f_{ij}^{(p)}\left(\xi\right)$ обозначают суммы рядов $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\alpha_i\right)_n \left(\beta_j \xi\right)^n$ в поле $\mathbb{Q}_p$.

Ключевые слова: Бесконечная алгебраическая независимость, почти полиадические числа.

УДК: 511.36

Поступила в редакцию: 21.04.2024
Принята в печать: 04.09.2024

DOI: 10.22405/2226-8383-2024-25-3-365-372