Задача Аполлония для двух объектов и её исследование

А. С. Кашина^a, Л. М. Цыбуля<sup>b

a</sup> ГБОУ Школа № 597 «Новое Поколение» (г. Москва)
^b Московский педагогический государственный университет (г. Москва)

Аннотация: Как известно, классическая задача (проблема) Аполлония о построении с помощью циркуля и линейки окружности, касающейся трёх данных, обладает конечным числом решений, либо не имеет решений, если заданные окружности концентрические. При этом допускаются так называемые вырожденные случаи: любая из данных окружностей может являться точкой, то есть окружностью нулевого радиуса, или прямой, то есть окружностью бесконечного радиуса. Настоящая работа посвящена исследованию задачи Аполлония не для трёх окружностей, а для двух, включая вырожденные случаи. Представлена классификация всех случаев рассматриваемой задачи в зависимости от вида заданных объектов (точки, прямой или окружности) и от их взаимного расположения на вещественной координатной плоскости. В каждом из приведённых случаев были не только найдены все решения, но и указаны некоторые их взаимосвязи. Подходы к решению полученных в классификации случаев основаны на понятии геометрического места точек, равноудалённых от заданных объектов задачи, и на условиях равенств расстояний от предполагаемого центра искомой касательной окружности до каждого из заданных объектов. Отметим, что в отличие от классической задачи Аполлония решение всегда существует, более того, число решений бесконечно.

Ключевые слова: задача Аполлония, линия второго порядка.

УДК: 514.122.2

Поступила в редакцию: 17.12.2023
Принята в печать: 04.09.2024

DOI: 10.22405/2226-8383-2024-25-3-158-176