Аннотация:
В смешанной области исследуется задача сопряжения двух уравнений гиперболического типа третьего порядка – уравнения Аллера в положительной части области с оператором от волнового оператора в отрицательной части. Задача заключается в нахождении регулярного решения рассматриваемого уравнения, когда на положительной части границы области заданы граничные условия второго рода, а в отрицательной части заданы условия Коши на одной из характеристик. Кроме того, требуется непрерывное склеивание искомого решения и его производной на линии сопряжения. Доказана теорема о существовании единственного регулярного в смешанной области решения исследуемой задачи. Для доказательства однозначной разрешимости задачи используется метод Трикоми, согласно которому получены соответствующие фундаментальные соотношения между следами искомого решения и его производной, перенесенные из положительной и отрицательной частей смешанной области на линию сопряжения. Из полученных фундаментальных соотношений приходим ко второй краевой задаче для неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка относительно следа производной искомого решения, решение которой найдено и выписано в явном виде. Тогда и решение исследуемой задачи выписывается в явном виде как решение второй краевой задачи для уравнения Аллера в положительной части смешанной области и как решение задачи Дарбу для модельного уравнения гиперболического типа третьего порядка в отрицательной части. Найдены достаточные условия на заданные функции, обеспечивающие регулярность полученных решений исследуемой задачи в смешанной области.
Ключевые слова:
уравнение Аллера, уравнения гиперболического типа, локальная задача, регулярное решение
УДК:517.95
Поступила в редакцию: 27.11.2024 Исправленный вариант: 06.12.2024 Принята в печать: 13.12.2024
Полный текст:
PDF файл (6667 kB)