Нормальные напарники интуиционистских модальных логик
С. А. Дробышевич Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, РОССИЯ
Аннотация:
Ранее К. Дошен и М. Божич ввели четыре независимые интуиционистские модальные логики — по одной для каждого из четырёх типов модальных операторов: необходимости
${\mathsf{N}}$, возможности
${\mathsf{P}}$, невозможности
${\mathsf{Im}}$ и не-необходимости
${\mathsf{Un}}$. Эти логики обозначаются
$\mathsf{HK}{\mathsf{M}}$, где ${\mathsf{M}}\in\{{\mathsf{N}},{\mathsf{P}},{\mathsf{Un}},{\mathsf{Im}}\}$. Интерес к тому, чтобы рассматривать четыре типа модальных операторов по отдельности, связан именно с тем, что над интуиционистской логикой они не могут быть сведены друг к другу. Здесь изучаются расширения логик
$\mathsf{HK}{\mathsf{M}}$, у которых есть нормальные напарники. Оказывается, что нормальные напарники есть у всех расширений логик
$\mathsf{HK}{\mathsf{N}}$ и
$\mathsf{HK}{\mathsf{Un}}$. Для расширений
$\mathsf{HK}{\mathsf{P}}$ и
$\mathsf{HK}{\mathsf{Im}}$ получен критерий существования нормальных напарников, который заключается в присутствии некоторого модального закона двойного отрицания. Также показывается, как добавление этого закона влияет на выразительные возможности логики. Особый интерес представляет результат о том, что расширения
$\mathsf{HK}{\mathsf{P}}$ и
$\mathsf{HK}{\mathsf{Im}}$ имеют нормальных напарников, только если они дефинициально эквивалентны расширениям
$\mathsf{HK}{\mathsf{N}}$ и
$\mathsf{HK}{\mathsf{Un}}$ соответственно. Этот результат является ещё одним примером различия в поведении четырёх типов модальных операторов над интуиционистской логикой.
Ключевые слова:
интуиционистская модальная логика, нормальный напарник, модальный закон двойного отрицания.
УДК:
510.643 Поступило: 29.06.2022
Окончательный вариант: 13.10.2023
DOI:
10.33048/alglog.2022.61.601
Полный текст:
PDF файл (252 kB)