Об абсолютности $\aleph_1$-свободы

Д. Гердэн, А. В. Паси

Dep. Math., Baylor Univ., Waco, Texas, USA

Аннотация: $\aleph_1$-свободные группы, т. е. абелевы группы, для которых каждая счётная подгруппа свободна, выражают ряд интересных алгебраических и теоретико-множественных свойств. Даётся полное доказательство того, что свойство группы быть $\aleph_1$-свободной абсолютно; если абелева группа $G$ $\aleph_1$-свободна в какой-то транзитивной модели $\mathbf{M}$ теории $\mathrm {ZFC}$, тогда она будет $\aleph_1$-свободной в любой транзитивной модели теории $\mathrm {ZFC}$, содержащей $G$. Абсолютность $\aleph_1$-свободы влечёт, что абелева группа $G$ $\aleph_1$-свободна в некоторой транзитивной модели теории $\mathrm {ZFC}$ тогда и только тогда, когда она (счётна и) свободна в каком-то модельном расширении. Это теоретико-множественная характеристика служит начальной точкой для дальнейшего изучения отношения между теоретико-множественными и алгебраическими свойствами $\aleph_1$-свободных групп. В частности, эта статья демонстрирует как доказательства могут быть упрощены, используя модельные расширения для $\aleph_1$-свободных групп.

Ключевые слова: $\aleph_1$-свободная группа, критерий Понтрягина, абсолютность, транзитивная модель.

УДК: 512.57

Поступило: 11.07.2022
Окончательный вариант: 09.08.2023

DOI: 10.33048/alglog.2022.61.501

 Англоязычная версия: Algebra and Logic, 2022, 61:5, 351–362