Об обратной задаче Галуа расширений разностных полей

Е. В. Панкратьев


Аннотация: Пусть ${\mathcal F}$ — инверсное разностное поле, т. е. поле с автоморфизмом $E$, $C$ — его поле констант (неподвижных элементов автоморфизма $E$), предполагаемое алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, $G$ — связная разрешимая матричная $C$-группа. Среди всех разностных расширений поля ${\mathcal F}$ выделен класс расширений, называемых сильно $G$-примитивными расширениями.
В статье доказано, что задача о существовании сильно $G$-примитивного расширения ${\mathfrak G}$ поля ${\mathcal F}$ такого, что разностная группа Галуа поля ${\mathfrak G}$ над ${\mathcal F}$ изоморфна группе $G$, сводится к рассмотрению свободных $Z$-подмодулей некоторой фактор-группы мультипликативной группы поля ${\mathcal F}$ и векторных подпространств над полем $C$ некоторого фактор-пространства аддитивной группы поля ${\mathcal F}$, рассматриваемой как векторное пространство над полем $C$. Полученные теоремы применяются к конкретным разностным полям, а именно к полю, совпадающему со своим полем констант, к полям конечной степени трансцендентности над полем $C(x)$, где элемент $x$ трансцендентен над $C$, к расширениям Пикара-Вессио ненулевой степени трансцендентности некоторого разностного подполя ${\mathcal F}_{0}$ и к полям формальных и сходящихся степенных рядов от одной переменной над полем $C$.

УДК: 519.48+513.6

Реферативные базы данных:

•