Семинары: П. В. Бибиков, О симплектизации контактного пространства 1-джетов $J^1\mathbb{R}^n$ и ее приложениях для изучения дифференциальных уравнений

СЕМИНАРЫ


Дифференциальная геометрия и приложения 30 сентября 2013 г. 16:45, г. Москва, ГЗ МГУ, ауд. 16-10

О симплектизации контактного пространства 1-джетов $J^1\mathbb{R}^n$ и ее приложениях для изучения дифференциальных уравнений П. В. Бибиков
Аннотация: Занявшись по совету А.Т. Фоменко связью между геометрией пространств джетов и симплектической геометрией, я обратил внимание на интересную двойственность между контактными и симплектическими многообразиями: над каждым контактным многообразием существует симплектическое расслоение размерности 1 (и наоборот), которое называется симплектизацией. Поскольку пространство 1-джетов $J^1\mathbb{R}^n$ гладких функций $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ является контактным (контактная структура в нем задается распределением Картана), оно также допускает симплектизацию. Оказывается, что многие естественные объекты пространства 1-джетов (контактные векторные поля, контактоморфизмы, и т.д.) поднимаются в симплектизацию. А работать с этими объектами в симплектическом пространстве оказывается много проще, чем в (контактном) пространстве 1-джетов. С помощью такого подхода удалось решить две интересные задачи: 1) точечная классификация контактных векторных полей на $J^1\mathbb{R}^n$; 2) точечная классификация дифференциальных уравнений Абеля первого порядка. В докладе будет подробно описана симплектизация и ее структура, а также рассказано, как эта конструкция позволяет решать различные задачи, связанные с дифференциальными уравнениями. В заключение будет рассказано об открытых вопросах в этой области.