Семинары: С. П. Суетин, Дифференциальное уравнение 3-го порядка для полиномов Эрмита--Паде

СЕМИНАРЫ


Семинар по комплексному анализу (Семинар Гончара) 21 января 2013 г. 18:00, г. Москва, МИАН, комн. 411 (ул. Губкина, 8)

Дифференциальное уравнение 3-го порядка для полиномов Эрмита–Паде С. П. Суетин Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Аннотация: Будет доказано следующее утверждение. Теорема. Пусть функция $f(z)=\bigl((z-1)/(z+1)\bigr)^{\alpha}$, $z\notin[-1,1]$, где $2\alpha\in\mathbb C\setminus\mathbb Z$ и $f(\infty)=1$, и пусть $Q_{n,0},Q_{n,1},Q_{n,2}\not\equiv0$ – полиномы Эрмита–Паде степени $n$ для набора функций $1,f,f^2$: $$ \bigl(Q_{n,0}+Q_{n,1}f+Q_{n,2}f^2\bigr)(z) =O\biggl(\frac1{z^{2n+2}}\biggr),\quad z\to\infty. $$ Тогда полином $Q_{n,0}$ и функции $Q_{n,1}f$ и $Q_{n,2}f^2$ являются решениями следующего дифференциального уравнения 3-го порядка: \begin{align} (z^2-1)^2w''' &+6(z^2-1)(z-\alpha)w''\notag\\ &-\bigl[3(n-1)(n+2)z^2+12\alpha z-(3n(n+1)+8\alpha^2-10)\bigr]w'\notag\\ &+2\bigl[n(n^2-1)z+\alpha(3n(n+1)-8)\bigr]w=0. \notag \end{align}