Семинары: М. А. Королeв, О тождестве Коши--Лерха--Рамануджана и его обобщениях

СЕМИНАРЫ


Коллоквиум МИАН-ПОМИ 18 февраля 2026 г. 15:00, г. Санкт-Петербург, ПОМИ, комн. 311 (наб. р. Фонтанки, 27)

О тождестве Коши–Лерха–Рамануджана и его обобщениях М. А. Королёв
Аннотация: Классический результат Леонарда Эйлера – формула \begin{equation}\label{Lab-01} \zeta(2m) = \frac{(-1)^{m-1}B_{2m}}{2\cdot(2m)!}\,(2\pi)^{2m},\quad m = 1,2,3,\ldots \end{equation} связывает значения дзета-функции Римана $\zeta(s)$ с числами Бернулли $B_{n}$. Наряду с теоремой Франсуа Линдемана (1882) о трансцендентности числа $\pi$ она даёт ответ на вопрос об арифметической природе значений $\zeta(s)$ в чётных точках $s = 2m$, $m\geqslant 1$. Аналогичный вопрос о значениях дзета-функции в нечётных точках всё ещё далёк от окончательного разрешения. По этой причине формулы, связывающие величины $\zeta(2m+1)$ и $\pi^{2m+1}$ при целом $m\geqslant 1$ неизбежно привлекают к себе внимание. Первая формула такого типа была найдена ещё Огюстеном-Луи Коши. В мемуаре «Sur quelques propositions fondamentales du Calcul des Résidus», опубликованном в VII томе его собрания сочинений (1889), под номером 120 помещено тождество $$ \frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{\pi}-e^{-\pi}}+\frac{1}{2^{3}}\cdot \frac{e^{2\pi}+e^{-2\pi}}{e^{2\pi}-e^{-2\pi}} +\frac{1}{3^{3}}\cdot \frac{e^{3\pi}+e^{-3\pi}}{e^{3\pi}-e^{-3\pi}} + \ldots = \frac{7\pi^{3}}{180}, $$ которому легко придать вид $$ \zeta(3) = \frac{7\pi^{3}}{180} - 2\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}. $$ Это соотношение неоднократно переоткрывалось (Матьяш Лерх, Сриниваса Рамануджан и др.) и всякий раз оказывалось частным случаем некоторого более общего утверждения. В докладе планируется рассказать об новом доказательстве тождества (1), которое опирается на один общий и элементарных факт, обнаруженный автором и А.Т. Даниярхождаевым несколько лет назад, а также на общеизвестные утверждения типа разложения котангенса в сумму простейших дробей. Перечисленные факты позволяют указать несколько обобщений тождества (1), которые, насколько можно предполагать, являются новыми.