Аннотация:
Классический результат Леонарда Эйлера – формула
\begin{equation}\label{Lab-01}
\zeta(2m) = \frac{(-1)^{m-1}B_{2m}}{2\cdot(2m)!}\,(2\pi)^{2m},\quad m = 1,2,3,\ldots
\end{equation}
связывает значения дзета-функции Римана $\zeta(s)$ с числами Бернулли $B_{n}$. Наряду с теоремой Франсуа Линдемана (1882) о трансцендентности числа $\pi$ она даёт ответ на вопрос об арифметической природе значений $\zeta(s)$ в чётных точках $s = 2m$, $m\geqslant 1$.
Аналогичный вопрос о значениях дзета-функции в нечётных точках всё ещё далёк от окончательного разрешения. По этой причине формулы, связывающие величины $\zeta(2m+1)$ и $\pi^{2m+1}$ при целом $m\geqslant 1$ неизбежно привлекают к себе внимание.
Первая формула такого типа была найдена ещё Огюстеном-Луи Коши. В мемуаре «Sur quelques propositions fondamentales du Calcul des Résidus» опубликованном в VII томе его собрания сочинений (1889), под номером 120 помещено тождество
\[
\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{\pi}-e^{-\pi}}+\frac{1}{2^{3}}\cdot \frac{e^{2\pi}+e^{-2\pi}}{e^{2\pi}-e^{-2\pi}} +\frac{1}{3^{3}}\cdot \frac{e^{3\pi}+e^{-3\pi}}{e^{3\pi}-e^{-3\pi}} + \ldots = \frac{7\pi^{3}}{180},
\]
которому легко придать вид
\[
\zeta(3) = \frac{7\pi^{3}}{180} - 2\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}.
\]
Это соотношение неоднократно переоткрывалось (Матьяш Лерх, Сриниваса Рамануджан и др.) и всякий раз оказывалось частным случаем некоторого более общего утверждения.
В докладе планируется рассказать об новом доказательстве тождества (1), которое опирается на один общий и элементарных факт,
обнаруженный автором и А.Т. Даниярхождаевым несколько лет назад, а также на общеизвестные утверждения типа разложения котангенса в сумму простейших дробей.
Перечисленные факты позволяют указать несколько обобщений тождества (1), которые, насколько можно предполагать, являются новыми.
|
