Аннотация:
Рассматривается задача об устойчивости изолированных равновесий автономных систем дифференциальных уравнений, правые части которых представляются аналитическими функциями фазовых переменных. Если размерность фазового пространства нечётная, то все такие равновесия, по-видимому, неустойчивы. В пространствах чётной размерности (большей четырёх) указаны аналитические системы с неустойчивыми по Ляпунову изолированными равновесиями, которые формально устойчивы. Равновесие называется формально устойчивым, если найдётся первый интеграл дифференциальных уравнений, представимый формальным степенным рядом (возможно, расходящимся), первая однородная форма которого является положительно определённой. Этот результат – решение давней проблемы Биркгофа о том, вытекает ли из формальной устойчивости «настоящая» устойчивость по Ляпунову. Оказывается, из устойчивости по Ляпунову также не вытекает формальная устойчивость положения равновесия.
В основе анализа проблемы формальной устойчивости лежит новый механизм диффузии; явление диффузии, открытое В.И.Арнольдом, широко обсуждается для гамильтоновых систем, мало отличающихся от вполне интегрируемых. Этот механизм связан с разрушением большого числа инвариантных торов невозмущённой задачи с почти резонансным набором частот. Формальная сторона этого явления опирается на условия неограниченности интегралов условно периодических функций времени с нулевым средним значением.
|
