Аннотация:
Разбирая конструкцию Д. Быкова лагранжева вложения полного
многообразия флагов в прямое произведение проективных пространств,
мы получили пример того, как по подходящему обильному дивизору можно
построить лагранжево подмногообразие. А именно, если дивизор $D \subset
X$ проективного многообразия $X$ принадлежит линейной системе $\vert k L
\vert, k \in \mathbb{N}$, где $L$ - поляризация, задающая кэлерову форму
$\omega$ на $X$, то соответствующий ему кэлеров потенциал $\Psi_D = -
{\rm ln} \vert \alpha_D \vert$ обладает следующим свойством:
любое его гладкое критическое подмножество в $X \backslash D$ является
изотропным подмногообразием. В общем случае такие критические
подмножества нульмерны, однако в необщем случае возможно подобрать такой
дивизор $D$, что критическое подмножество оказывается гладким и
максимально возможной размерности, равной комплексной размерности самого
$X$. То есть мы получаем соответствие "обильный дивизор - лагранжево
подмногообразие", что позволяет построить новые примеры лагранжевых
подмногообразий в грассманиане ${\rm Gr} (r, n)$.
|
