Аннотация:
Пусть $A$, $B$ — непустые множества в аддитивной группе $(G,+)$, снабжённой трасляционно-инвариантной мерой, относительно которой $A, B$ и их сумма по Минковскому $A+B=\{x+y:x\in A, y\in B\}$ измеримы и имеют меры $a, b, c$ соответственно. Насколько мало может быть $c$ при данных $a$ и $b$?
Если $G=\mathbb{R}^n$ с мерой Лебега, то ответ даёт неравенство Брунна–Минковского
$$c\geqslant (a^{1/n}+b^{1/n})^n. \tag{1}$$
Оценка (1) достигается для шаров (и вообще для положительно гомотетичных выпуклых $A, B$).
Заметим, что правая часть (1) возрастает по $n$.
Для считающей меры (то есть множества $A, B, A+B$ — конечные и $a, b, c$ — их размеры) и группы без кручения $G$ легко установить оценку
$$c\geqslant a+b-1, \tag{2}$$
которая всегда точна, как показывает пример арифметических прогрессий $A, B$ с одинаковой разностью. Так что в такой общности никакого улучшения с ростом $n$ не происходит. Интересно, что оценка (2) верна и в некоторых группах с кручением — например, в циклической группе простого порядка $p$ (при естественном условии $a+b\leqslant p+1$) — это уже нетривиальный результат, известный как теорема Коши–Дэвенпорта.
Неравенство Брунна–Минковского и теорема Коши–Дэвенпорта относятся к числу самых базовых и часто используемых теорем выпуклой геометрии и, соответственно, аддитивной комбинаторики.
При дополнительных условиях на $A$, $B$ оценки (1) и (2) могут быть усилены или доказаны в большей общности, чему посвящено множество работ. Так, есть много дискретных аналогов (1), ни один из которых не является “окончательным”.
Я хотел бы остановиться на естественном и много ищучавшемся случае $B=\tau A$, где $\tau$ — данный эндоморфизм группы $G$ (например, умножение на число $\lambda$, если $G=\mathbb{R}$, к этому случаю по существу сводятся эндоморфизмы решёток и евклидовых пространств). Уже для меры Лебега для большинства $\tau$ оценка (1) не точна. Точная константа найдена в работе Крачуна и докладчика, в которой также (асимптотически) решена дискретная версия обсуждавшейся выше задачи при $\lambda=\sqrt{2}$ и сформулирована гипотеза о значении
$\liminf |A+\lambda A|/|A|$ для любого алгебраического числа $\lambda$. Через некоторое время эта гипотеза была доказана для целых алгебраических чисел (снова Крачуном и докладчиком), и, наконец, в общем случае (Конлоном и Лимом). Я хотел бы рассказать об идеях доказательства, ключевая из которых — аппроксимация дискретного множества непрерывным (в большей, но ограниченной размерности).
