Аннотация:
Прямолинейная три-ткань образована на плоскости тремя семействами прямых общего положения. Три-ткань, локально диффеоморфная прямолинейной три-ткани, называется спрямляемой. Три-ткань, локально диффеоморфная параллельной три-ткани, образованной тремя семействами параллельных прямых, называется регулярной. В 1912 году F. H. Gronwall высказал следующую гипотезу: если нерегулярная три-ткань $W$ спрямляема, то локальный диффеоморфизм, переводящий три-ткань $W$ в прямолинейную ткань, определяется, с точностью до проективного преобразования, единственным образом. Вследствие вычислительных трудностей проблема не была решена до настоящего времени. Мы предлагаем ее полное решение, в том числе, и в многомерном случае. Положительное решение проблемы Гронвелла вытекает из следующего утверждения, доказательство которого будет нами представлено.
Теорема. Пусть $W$ и $\tilde{W}$ — две эквивалентные нерегулярные прямолинейные три-ткани и $\varphi$ — локальный диффеоморфизм, переводящий слоения ткани $W$ в слоения ткани $\tilde{W}$. Тогда $\varphi$ — проективное преобразование.
Для удобства доказательство проводится для двойственного образа — для грассмановых тканей.
|
