Семинары: В. И. Арнольд, Динамическая система Ферма--Эйлера и статистика случайных точек на окружности

СЕМИНАРЫ


Популярные лекции по математике, прочитанные на Малом мехмате МГУ 14 декабря 2002 г., г. Москва

Динамическая система Ферма–Эйлера и статистика случайных точек на окружности В. И. Арнольд
https://youtu.be/dEB342S6D0I Аннотация: Динамическая система Ферма действует на множестве вычетов по модулю $n$ как умножение на постоянную, взаимно простую с модулем (например, на 2 для нечётного $n$). Эйлер предложил ограничить эту динамику на множество вычетов, взаимно простых с $n$, и это позволило ему обобщить малую теорему Ферма (утверждающую, что $a^{n-1}=1$ $(\mathrm{mod}\,n$) для любого простого $n$ и любого не делящегося на $n$ целого $a$). Удивительным свойством динамики Ферма–Эйлера является равенство периодов всех циклов этой динамической системы, являющейся перестановкой, диаграмма Юнга которой — всегда прямоугольник. Было рассказано об удивительных свойствах этих прямоугольников, функции $T(n)$, выражающей период динамики Ферма–Эйлера, и площади $S(n)$ этого прямоугольника (которая растёт, как заметил Гаусс, в среднем как $cn$, где постоянная $c=6/(\pi^2)=1/\zeta(2)$ есть вероятность взаимной простоты случайно взятых целых чисел, — отношение длины окружности к её диаметру ($\pi\sim 3{,}1415926$), а $\zeta$ — дзета-функция Римана). В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот “физический” смысл некоторых из этих свойств. Случайно выбранные $T$ элементов $m$-элементного множества как правило различны, если $T<a\cdot m^{1/2}$, и как правило не все различны, если $T>a\cdot m^{1/2}$ ("задаче о днях рождения $T$ человек" соответствует $m=365$). Если бы случайной была орбита из $T$ вычетов динамики Ферма–Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из $n$. Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность, проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов. Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности, характеризующей средние расстояния между соседними элементами) наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для распределения вычетов многих арифметических прогрессий. Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит это исследование, упомяну бесконечность множества простых чисел $q$, для которых $2q+1$ тоже простое. (Как, просты, например, 3 и 7, 5 и 11, 23 и 47.)