Семинары: И. С. Басков, Когомологии де Рама мягких функциональных алгебр

СЕМИНАРЫ


Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика» (семинар С. П. Новикова) 15 октября 2024 г. 16:45, г. Москва, мехмат МГУ, ауд. 16-08 + Zoom

Когомологии де Рама мягких функциональных алгебр И. С. Басков Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Аннотация: Для коммутативной k-алгебры A возможно определить ее когомологии де Рама $\mathrm{H}^_{\text{DR}}(A)$. Теорема сравнения Гротендика говорит о том, что когомологии де Рама алгебры регулярных функций на гладком алгебраическом многообразии X изоморфны сингулярным когомологиям аналитификации X. При рассмотрении произвольной мягкой функциональной $\mathbb{R}$-алгебры $A$ на пространстве $X$ изоморфизма в общем случае уже нет, но сингулярные когомологии канонически отщепляются от когомологий де Рама алгебры $A$. Отщепление достигается каноническими мультипликативными отображениями $$\Lambda:\mathrm{H}^_{\text{sing}}(X,\mathbb{R})\leftrightarrow \mathrm{H}^*_{\text{DR}}(A):\Psi.$$ На докладе мы кратко опишем как построить данные отображения и опишем их свойства. Мы рассмотрим данные отображения для различных функциональных алгебр: 1) непрерывных функций на топологическом пространстве, 2) гладких функций на гладком многообразии, 3) кусочно-полиномиальных функций на полиэдре, 4) полиномиальных функций на симплициальном комплексе. Мы также обсудим, в каких случаях отображения $\Lambda$ и $\Psi$ являются изоморфизмами. Доклад основан на статьях https://arxiv.org/abs/2208.11431, https://arxiv.org/abs/2304.04328 и https://arxiv.org/abs/2408.08689.