Семинары: Б. Я. Казарновский, Какая часть корней системы случайных полиномов вещественна?

Семинар Добрушинской лаборатории Высшей школы современной математики МФТИ
24 сентября 2024 г. 16:15, МФТИ, радиотехнический корпус, ауд. РТ 113, Институтский пер., 9, стр. 1, Долгопрудный

Какая часть корней системы случайных полиномов вещественна? Б. Я. Казарновский Московский физико-технический институт (государственный университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
Аннотация: Какова вероятность вещественности корня многочлена степени $n$ с вещественными коэффициентами? Ответ М. Каца (1942): асимптотически $2/\pi \log(n)/n$. Многочлен Лорана, вещественный на единичной окружности, назовем вещественным, как и его корни на этой окружности. Оказывается, что вероятность вещественности корня многочлена Лорана растущей степени стремится не к нулю, а к $1/\sqrt(3)$. Т.е. предел $>1/2$ ! Верно, что феномен асимптотической конечности доли вещественных корней сохраняется для систем многочленов Лорана многих переменных, а также для многочленов на произвольной компактной группе Ли. В частности, корни многочленов на группе матриц сваливаются на унитарную подгруппу. В случае многочленов Лорана от $n$ переменных, соответствующая компактная группа есть $n$-мерный тор. Асимптотика доли вещественных корней вычисляется через смешанные объемы некоторых выпуклых компактных множеств, определяющих рост системы полиномов. Формулировки теорем элементарны и будут приведены полностью. Будет также приведено "объяснение" доказательств. Они основаны на применении двух результатов о числе корней систем уравнений. Это версии теоремы БКК (Бернштейна-Кушниренко-Хованского) о числе корней полиномиальной системы уравнений для соответственно гладких функций и для полиномов на комплексной линейной группе.