Аннотация:
Алгебра Ли $g_2$ – самая простая исключительная алгебра Ли (то есть, не включенная в бесконечную серию простых алгебр). Она определяется как алгебра Ли дифференцирования алгебры октонионов (комплексифицированной).
В докладе я продемонстрирую, применительно к этой алгебре, придуманную мной идею построения явной реализации конечномерных неприводимых представлений и базисов типа Гельфанда–Цетлина в них. Схема состоит из следующих шагов:
1) Выясняем соотношения между минорами на группе Ли $G_2$, построенными на каких-то столбцах и идущих подряд строках.
2) По соотношениям строится некоторая система УрЧП.
3) Пространство полиномиальных решений системы оказывается реализацией конечномерных неприводимых представлений.
Далее будет говорится о построении базиса в пространстве полиномиальных решений системы.
4) Система УрЧП приводится к виду системы А-ГКЗ ("антисимметризации" некоторой системы ГКЗ).
5) Строится явно базис в пространстве полиномиальных решений – это будет базис в каждом конечномерном неприводимом представлении. Построение базиса основано на связи с системой ГКЗ.
6) Ортогонализация этого базиса также является базисом в каждом конечномерном неприводимом представлении, причем весьма замечательным – базисом типа Гельфанда–Цетлина.
|
