Семинары: В. В. Палин, Метод геометрических решений для задачи Римана

СЕМИНАРЫ


Семинар «Оптимальное управление и динамические системы» 1 октября 2021 г. 13:00, г. Москва, МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8)

Метод геометрических решений для задачи Римана В. В. Палин Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Аннотация: В докладе будет описан явный метод построения решений задачи Римана для квазилинейных УрЧП первого порядка специального вида \begin{gather} \left\{\begin{array}{l} u_t+(\Phi(u)+\mathcal{F}(t,x))_x=0,\\ u\|_{t=0}=u_-+[u]\theta(x). \end{array}\right.\label{eq-0} \end{gather} Будут рассмотрены случаи, когда $\mathcal{F}(t,x)$ имеет вид $\mathcal{F}(t,x)=\mathcal{F}_-+[\mathcal{F}]\theta(x-\omega t)$, или$\mathcal{F}(t,x)=f\left(\frac{x}{t}\right)$, где $f$ – кусочно-гладкая функция, постоянная вне некоторого промежутка и удовлетворяющая условиям монотонности. Задача (\ref{eq-0}) возникает как уравнение-следствие при решении задачи Римана для нестрого гиперболической по Петровскому системы ступенчатого вида \begin{gather} \frac{\partial}{\partial t}\left(\begin{array}{l} \widehat{U}\\ U_n \end{array}\right)+\frac{\partial}{\partial x} \left(\begin{array}{l} \Psi_1(\widehat{U})\\ \Psi_2(\widehat{U})+\Phi(U_n) \end{array}\right)=0,\label{eq-1} \end{gather} в предположении, что подсистема \begin{gather} \frac{\partial}{\partial t}\widehat{U}+\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi_1(\widehat{U})\right)=0,\label{eq-2} \end{gather} соответствующая неизвестной $n-1$-мерной вектор-функции $\widehat{U}$, строго гиперболическая. Примером систем вида (\ref{eq-1}) являются, в первую очередь, системы уравнений, описывающие движение смесей из нескольких компонент. Предлагаемый метод состоит из двух шагов. На первом шаге единственным образом строится для каждого $t>0$ кривая на фазовой плоскости $(x,u)$, которая называется геометрическим решением. На втором шаге при помощи процедуры выравнивания по геометрическому решению единственным образом строится обобщенное решение задачи (\ref{eq-0}). Метод геометрических решений можно рассматривать как новый способ определения допустимого решения задачи Римана для системы (\ref{eq-1}). Геометрическое решение строится различными способами для двух указанных выше семейств функций $\mathcal{F}$. Первое из них возникает в случае, когда подсистеме (\ref{eq-2}) соответствует уединенная ударная волна (или контактный разрыв), а второе – в случае, когда (\ref{eq-2}) соответствует центрированная волна разрежения. Для случаев, когда подсистеме (\ref{eq-2}) соответствует разрывное решение, доказаны существование и единственность геометрического решения и предложен явный метод его построения. Такие же результаты (существование, единственность и явный метод построения) получены для случая центрированной волны разрежения, если $\Psi_2$ удовлетворяет дополнительному условию типа монотонности.