Семинары: В. В. Палин, Геометрические решения задачи Римана для нестрого гиперболических систем

СЕМИНАРЫ


Научный семинар кафедры высшей математики МФТИ 27 мая 2021 г. 17:15, Zoom

Геометрические решения задачи Римана для нестрого гиперболических систем В. В. Палин
Аннотация: В докладе будет описан явный метод построения решений задачи Римана для нестрого гиперболических по Петровскому систем ступенчатого вида \begin{equation}\frac{\partial}{\partial t}\left(\begin{array}{l}\widehat U\\U_n\end{array}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\begin{array}{l}\Psi_1(\widehat U)\\\Psi_2(\widehat U)+\Phi(U_n)\end{array}\right)=0,\end{equation} где неизвестны вектор-функция $\widehat U=(U_1,\ldots,U_{n-1})^T$ и скалярная функция $U_n$, а известные вектор-функция $\Psi_1\in C^2(\mathbb R^{n-1};\mathbb R^{n-1})$ и скалярные функции $\Psi_2\in C^2(\mathbb R^{n-1}),\,\Phi\in C^2(\mathbb R)$ таковы, что подсистема \begin{equation}\frac{\partial}{\partial t}\widehat U+\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi_1(\widehat U)\right)=0\end{equation} строго гиперболическая. Примером систем вида $(1)$ являются, в первую очередь, системы уравнений, описывающие движение смесей из нескольких компонент. Предлагаемый метод состоит из двух шагов. На первом шаге единственным образом строится для каждого $t>0$ кривая на фазовой плоскости $(x,U_n)$, которая называется геометрическим решением. На втором шаге при помощи процедуры выравнивания по геометрическому решению единственным образом строится обобщенное решение задачи $(1)$. Геометрическое решение строится различными способами для двух случаев. В первом из них подсистеме $(2)$ соответствует уединенная ударная волна (или контактный разрыв), а во втором — центрированная волна разрежения. В каждом из случаев доказано, что геометрическое решение существует и и единственно, и описан способ его построения в явном виде. Основные методы, используемые для построения геометрического решения, относятся к теории систем ОДУ с разрывной правой частью, а также к методам метрической геометрии.