Семинары: Ю. Т. Лисица, Производная по объему непрерывной дифференциальной формы в компактном подмногообразии

СЕМИНАРЫ


Семинар им. П.К. Рашевского по тензорному и векторному анализу с приложениями к геометрии, механике и физике 21 февраля 2011 г. 18:30, г. Москва, ГЗ МГУ, ауд. 12-24

Производная по объему непрерывной дифференциальной формы в компактном подмногообразии Ю. Т. Лисица
Аннотация: Теорема. Пусть $M^n$ — ориентируемое $n$-мерное $C^1$-многообразие над $\mathbb{R}$, и пусть $S^m$ — его $m$-мерное ориентируемое подмногообразие. Для каждого компактного $k$-мерного ориентированного регулярного подмногообразия $L^k$ многообразия $S^m$, $0\leqslant k< m\leqslant n$, и каждой непрерывной $m$-формы с компактными носителями $\omega^m_c$ на $M^n$ существует такая однозначно определенная непрерывная $k$-форма $\omega^K$ на $L^k$, что $$ \lim_{V_{\lambda}\to L^k}\frac1{\|V_{\lambda}\|}\int\limits_{\overrightarrow{V}_{\lambda}}\omega^m_c\dfrac1{\|L^k\|}=\int\limits_{\overrightarrow{L^k}}\omega^k, $$ где $\{V_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\}$ — конфинальная система всех окрестностей подмногообразия $L^k$ в $S^m$, $\|V_{\lambda}\|$ — это $m$-объем $V_{\lambda}$, и $\|L^k\|$ является $k$-объемом подмногообразия $L^k$. Ориентации на $M^n$, $S^m$ и $L^k$ фиксированы и согласованы. Если $k=0$ и $m=n$, то получим классическую теорему о дифференцировании аддитивной функции $\Phi(V_{\lambda})=\int\limits_{\overrightarrow{V}_{\lambda}}f(x_1,x_2,\dots,x_n)\,dx_1dx_2\dots dx_n$ по объему $V_{\lambda}$ в каждой точке $L^0=(x^0_1,x_2^0,\dots,x_n^0)$ многообразия $M^n$, причем $$ \lim_{V_{\lambda}\to L^0}\frac1{\|V_{\lambda}\|}\int\limits_{\overrightarrow{V}_{\lambda}}f(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(x^0_1,x_2^0,\dots,x_n^0). $$ Если учесть, что эта последняя теорема имеет многочисленные приложения при выведении важных уравнений математической физики (уравнение теплопроводности, уравнение неразрывности, уравнение динамики движущейся в пространстве сплошной среды, волновое уравнение и др.), то обобщение этой теоремы может служить, например, нахождению первый интегралов подобных уравнений или еще для обнаружения каких-нибудь закономерностей.