Семинары: В. В. Палин, О геометрических решениях задачи Римана для одного класса нестрого гиперболических систем

Задачи дифференциальных уравнений, анализа и управления: теория и приложения
11 ноября 2019 г. 18:30, г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, ауд. 13-06

О геометрических решениях задачи Римана для одного класса нестрого гиперболических систем В. В. Палин Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Аннотация: Рассматривается задача Римана для системы законов сохрнения ступенчатого вида $$\left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial U_1}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\mathcal{F}_j(U_1,...,U_{n-1}))=0, j=1,...,n-1,\\ \frac{\partial U_n}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\mathcal{F}_n(U_1,...,U_{n-1})+\Phi(U_n))=0,\\ U_j\|_{t=0}=U_{j,-}+(U_{j,+}-U_{j,-})\theta(x), j=1,...,n, \end{array} \right.\eqno (1) $$ где $U_{j,\pm}$ – заданные константы, а известные функции $\mathcal{F}_j\in C^2(\mathbb{R}^{n-1})$, $j=1,...,n$, $\Phi\in C^2(\mathbb{R})$. Предполагается также, что все собственные значения матрицы $$ \mathscr A(\xi)=\left(\begin{matrix} \frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial U_1}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) &...& \frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial U_{n-1}}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) & 0 \\ ...&...&...&...\\ \frac{\partial \mathcal{F}_{n-1}}{\partial U_1}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) &...& \frac{\partial \mathcal{F}_{n-1}}{\partial U_{n-1}}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) & 0\\ \frac{\partial \mathcal{F}_{n}}{\partial U_1}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) &...& \frac{\partial \mathcal{F}_{n}}{\partial U_{n-1}}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) & \Phi'(\xi_n)\\ \end{matrix} \right) $$ вещественные для любого $\xi\in{\mathbb{R}^n}$, т.е. рассматриваемая система законов сохранения нестрого гиперболическая по Петровскому. Пусть, кроме того, левый верхний блок $\widehat{\mathcal{A}}$ матрицы ${\mathcal{A}}$ размера $(n-1)\times(n-1)$ – матрица, имеющая полный базис из собстевнных векторов. В этом случае у матрицы ${\mathcal{A}}$ на некотором многообразии в фазовом пространстве может возникать присоединенный вектор, и известные методы решения задачи Римана становятся неприменимы. В докладе будет предложен новый метод построения задачи Римана (1), опирающийся на новой определение решения – геометрическое решение, и описана связь между геометрическим и обобщенным решением.